2025年が始まって、もう半月が経過しました。皆様、元気にお過ごしでしょうか。
今回は年賀状問題の解答・解説です。
問題はこちらでした。
答え 184320
解説
地道に2025個調べてもよいのですが、計算ミスをしやすくなります。
工夫をして、なるべく少ない計算で済ませましょう。
まず1けたの数 １～９はそのまま足すだけですので45。
次に2けたの数 10～99。１の位が0の数字はかけ算しても0なので考えません。
まず、11～19までのかけ算の答えを足すと１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝45。
次に21～29までのかけ算の答えを足すと2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＝90
31~39までのかけ算の答えを足すと3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋27＝135
このまま計算していってもよいのですが、今までの式をよく見てみましょう。
＝の左側に並ぶ数字が2倍・3倍となると、たし算の答えも2倍、3倍となっていることがわかります。
これは、中学校では分配法則として学習します。3×６＋3×８＝3×（６＋８）というように、同じ数字がかけ算されている数をたし算する場合、かけ算される前の数を足してからかけ算しても、結果は同じになります。
今回は、この分配法則をフル活用していきます。
41以降のかけ算の答えを足すと、45×４、45×５…45×９と並んでいきます。
これらを全部足す場合、45×１＋45×2＋45×３＋…45×９となりますから、再度分配法則を使うことで45×（１＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＝45×45＝2025と計算できます。
次に3けたの数
111~199までは先ほど計算した11～99までの数に1をかけたことになるので、計算結果は11～99までの答えと同じ2025。
211~299までは、11～99までの数に２をかけたことになるので、またまた分配法則を使うことで2025×2
同様に考えると111~999までのたし算は2025×（1＋2＋…９）＝2025×45
４けたの数に移ります。
1111~1999までは111～999に１をかけたことになるので、３けたの計算結果と同じ2025×45
2000～2025までは、百の位に0が入っているので０
最後にこれらをたし算すると45+2025 +2025×45＋2025×45＝45＋2025×91＝184320となります。
前におこなった計算結果をうまく使って、計算量を減らしていくことが、正解へのポイントでした。
え？分配法則を知っていたから簡単だった？
実は今年も「これは難しすぎるだろう」ということで、採用とならなかった問題があります。
年賀状問題で物足りなかった人は、ぜひチャレンジしてみてください。
解答は後日、このブログで公開します。
問題
以下の性質を満たす整数を「ヘビ数」と呼ぶことにします。
「2けた以上の整数で、隣り合う2けたの数字の差がすべて3以下である。」
例えば、2025はヘビ数ですが、2026は十の位と一の位の差が4なのでヘビ数ではありません。
１．ヘビ数を小さい方から順に並べたとき、2025は何番目ですか。
２．ヘビ数を小さい方から順に並べたとき、2025番目の整数はいくつですか。